Сумма приведенных вычетов по модулю n. Полная и приведенная системы вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма. Общие вопросы предоставления социальных налоговых вычетов

Как показано в §5, отношение сравнимости по модулю т обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности; поэтому оно является отношением эквивалентности Возьмем произвольное целое число а. Обозначим через о множество чисел, сравнимых с а по модулю т: Пусть. Пусть теперь. И так далее. Процесс будет длиться до тех пор, пока построенные множества не будут покрывать все множество целых чисел. При этом возникает разбиение2> множества Z на множества а. Ь, с,..которые называют классами вычетов по модулю m; каждое число, входяшее в какой-нибудь из классов, называется вычетом этого класса. Число классов вычетов по модулю т равно т. Действительно, остаток отделения целого числа на т принимает одно из значений т - 2 или т - 1 и поэтому каждое из чисел попадает в один из классов 01, количество которых равно т. Взяв по одному числу из каждого класса вычетов получим систему представителей классов вычетов, или полную систему вычетов по модулю т. Системы вычетов Пример 1. Различные полные системы вычетов по модулю 7: Лемма 3. Числа, хт образуют полную систему вычетов по модулю т тогда и только тогда, когда они попарно не сравнимы по модулю т. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Если два числа не сравнимы по модулю ту то они попадают в разные классы вычетов. Так как всего классов вычетов m и рассматриваемых чисел гп, то они составляют полную систему вычетов. Лемма 4. Пусть,хт - полная система вычетов по модулю т, целое число а взаимно просто с т, b - произвольное целое число. Тогда числа ахi + 6, ах2 + Ь, ..ахт -f b также образуют полную систему вычетов. Согласно лемме 3 достаточно убедиться в том, чт Предположим (для приведения к противоречию), ч OG общем определении отношения и его свойствах речь пойдет ниже - в главе LXVIII; заметим, что теория чисел является источником многих важных примеров для обшей алгебры. Разбиение множества - это представление его в виде объединения попарно не пересекающихся подмножеств. Тогда a{xi-xj) \my и, поскольку (о, m) = 1, имеем (Xi-Xj) m, что противоречит лемме 3. Лемма 5. Пусть х = a(modm). Тогда (Системы вычетов м Действительно, пусть г - остаток от деления о на т. Тогда по лемме 2 Но так как х = a(mod т), при делении на m ««ело г"тамке имеет остаток г, и, следовательно, (я,т) = (г,т), откуда и вытекает требуемое. Итак, числа из одного класса вычетов по модулю т имеют один и тот же наибольший обший делитель с т. Поэтому становится корректным следующее определени е. Вычет по модулю т называют приведенным, если он взаимно прост с т. Совокупность приведенных вычетов из разных классов вычетов называют приведенной системой вычетов. Пример 2. При m = 7 приведенная система вычетов может выглядеть так: Системы вычетов Функцией Эйлера (р(т) называют число натуральных чисел, не превосходящих т и взаимно простьк с т. Например, . Легко видеть, что если р - простое число, Очевидно, что приведенная система вычетов по модулю т содержит чисел. Лемма 6. Пусть а взаимно просто приведенная система вычетов по модулю т. Тогда числа ах\, ах к также образуют приведенную систему вычетов по модулю т. 4 Так как числа о и Х{ взаимно просты с т, таким же свойством обладает и их произведение ах*. В силу леммы 4 числа ах\,ах2,... принадлежат к разным классам вычетов, и, следовательно, в силу предыдущего, образуют приведенную систему вычетов.

Определение. Числа образуют полную систему вычетов по модулю , если любое целое число сравнимо по модулю с одним и только одним из этих чисел.

Любая полная система вычетов по модулю состоит из чисел, которые попарно не сравнимы по модулю .

Теорема. Пусть - полная система вычетов по модулю . Пусть - целое число, взаимно простое с . Тогда - тоже полная система вычетов по модулю .

Доказательство. Нужно доказать, что эти числа попарно не сравнимы по модулю . Предположим противное. Пусть

Так как НОД , то , что противоречит условию.

Теорема. Пусть - полная система вычетов по модулю . Пусть - целое число. Тогда - тоже полная система вычетов по модулю .

Лемма. Если , то НОД НОД .

Доказательство.

– целое число.

Отсюда . Любой общий делитель и является делителем . Отсюда НОД НОД .

Определение. Числа образуют приведенную систему вычетов по модулю , если они взаимно просты с и любое целое число, взаимно простое с , сравнимо с одним и только одним из этих чисел по модулю .

Пример. Приведенная система вычетов по модулю 10: 1,3,7,9.

Лемма. Все приведенные системы вычетов по модулю состоят из одного и того же количества чисел, которое обозначается - функция Эйлера.

Доказательство. Действительно, пусть есть две приведенные системы вычетов по модулю , состоящие из разного количества чисел:

Тогда так как числа образуют приведенную систему вычетов по модулю , то каждое из чисел сравнимо с одним и только одним из этих чисел. Поскольку , то, по принципу Дирихле, по крайней мере два числа из будут сравнимы с каким-то числом , а значит, будут сравнимы между собой по модулю . А это противоречит тому, что - приведенная система вычетов по модулю . Значит, .

Докажем теперь, что . В самом деле, числа, меньшие и взаимно простые с , образуют приведенную систему вычетов по модулю . Это следует из леммы.

Определение. Функция Эйлера (или тотиент) обозначает количество чисел, меньших и взаимно простых с .

Теорема. Если - приведенная система вычетов по модулю и - число, взаимно простое с , то - тоже приведенная система вычетов по модулю .

Если - простое, то .

Лемма. Если - простое, то .

Доказательство. Действительно, чисел, меньших простого и имеющих с ним общий делитель, всего .

Лемма. Пусть НОД . Тогда . Функция Эйлера мультипликативна.

Доказательство. Запишем все числа от 1 до следующим образом:

Числа в каждой строке образуют полную систему вычетов по модулю . Значит, взаимно простых с среди них . При этом эти числа расположены по столбцам - друг под другом, поскольку в каждом столбце стоят числа, сравнимые по модулю .

Числа в каждом столбце образуют полную систему вычетов по модулю . Действительно, -й столбец получается, если взять числа , образующие полную систему вычетов по модулю , умножить их на число , взаимно простое с , и прибавить к каждому из них .

Таким образом, в каждом столбце ровно чисел, взаимно простых с .

Так как число будет взаимно простым с тогда и только тогда, когда оно взаимно просто с и взаимно просто с , то количество чисел, взаимно простых с , равно .

Теорема. Пусть

Каноническое разложение числа . Тогда

Доказательство. По лемме о мультипликативности функции Эйлера

Пример.

Теорема (Эйлера). Если и - взаимно простые числа, то

Пусть - какая-нибудь приведенная система вычетов по модулю . . Тогда - тоже приведенная система вычетов по модулю . Следовательно, каждое из чисел первой последовательности сравнимо с одним из чисел второй последовательности по модулю , а каждое из чисел второй последовательности сравнимо с одним из чисел первой последовательности. Тогда

Так как каждое из чисел взаимно просто с , то на них сравнение можно сократить:

Следствие. Пусть – целые числа, – натуральные. Если , , НОД , то .

Доказательство. Пусть . Так как , то – натуральное число. Тогда

Значит, .

88вопрос
Гомотетия и подобие пространства

Гомотетию с центром O и коэффициентом k обозначают H k 0

Свойства преобразований гомотетии и подобия пространства аналогичны свойствам гомотетии и подобия плоскости, поэтому изучение первых следует начинать с повторения вторых. Подобие пространства с коэффициентом k можно разложить в композицию движения и гомотетии с некоторым центром и тем же коэффициентом.

Учащиеся должны знать, что при подобном преобразовании пространства сохраняется величина угла (плоского и двугранного), параллельные (перпендикулярные) прямые и плоскости отображаются на параллельные (перпендикулярные) прямые и плоскости. Это означает, что при подобном преобразовании пространства образом любой фигуры является фигура, имеющая такую же форму, что и данная фигура, но отличающаяся от нее лишь «своими размерами».

Задача 12. Дан правильный тетраэдр РАВС ; точки Р 1 , А 1 , В 1 , С 1 - центры его граней (рис.14). Докажите, что тетраэдр Р 1 А 1 В 1 С 1 подобен тетраэдру РАВС ; найдите коэффициент этого подобия.

Решение . Пусть точки Н и K - середины ребер соответственно АВ и ВС тетраэдра РАВС , точка А 1 - центр грани РВС , точка Р 1 - центр грани АВС (рис. 14). Это означает, что

РА 1: А 1 K = АР 1: Р 1 K = 2: 1,

А 1 K : РK = Р 1 K : АK = 1: 3,

Аналогично можно доказать, что
А 1 В 1 : АВ = 1: 3 и А 1 В 1 АВ ,
А 1 С 1 : АС = 1: 3 и А 1 С 1 АС ,
В 1 С 1 : ВС = 1: 3 и В 1 С 1 ВС ,
В 1 Р 1 : ВР = 1: 3 и В 1 Р 1 ВР ,
С 1 Р 1 : СР = 1: 3 и С 1 Р 1 СР .
Из этих соотношений между ребрами тетраэдров РАВС и Р 1 А 1 В 1 С 1 следует, что тетраэдр Р 1 А 1 В 1 С 1 - правильный, поэтому эти тетраэдры подобны; коэффициент подобия равен 1/3. (В профильных классах стоит доказать, что эти тетраэдры гомотетичны.)
Можно ввести определение: «Фигура F 1 называется подобной фигуре F , если существует преобразование подобия пространства, отображающее фигуру F на фигуру F 1 ». Тогда для доказательства подобия фигуры F 1 фигуре F достаточно найти хотя бы одно преобразование подобия, которое фигуру F отображает на фигуру F 1 ..

Определение. Параллельным переносом, или, короче, переносом фигуры, называется такое ее отображение, при котором все ее точки смещаются в одном и том же направлении на равные расстояния, т.е. при переносе каждым двум точкам X и Y фигуры сопоставляются такие точки X" и Y", что XX" = YY"

Основное свойство переноса:

Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т.е. X"Y" = XY

Отсюда выходит, что параллельный перенос есть движение, сохраняющее направление и наоборот, движение, сохраняющее направление, есть параллельный перенос

Из этих утверждений также вытекает, что композиция параллельных переносов есть параллельный перенос

Параллельный перенос фигуры задается указанием одной пары соответствующих точек. Например, если указано, в какую точку A" переходит данная точка A, то этот перенос задан вектором AA", и это означает, что все точки смещаются на один и тот же вектор, т.е. XX" = AA" для всех точек Х

Центральная симметрия

Определение

Точки A и A" называются симметричными относительно точки О, если точки A, A", O лежат на одной прямой и OX = OX". Точка О считается симметричной сама себе (относительно О)

Две фигуры называются симметричными относительно точки О, если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей относительно точки О точка в другой фигуре и обратно

Как частный случай, фигура может быть симметрична сама себе относительно некоей точки О. Тогда эта точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура центрально-симметричной

Определение

Центральной симметрией фигуры относительно О называется такое отображение этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно О

Основное свойство: Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направление изменяет на противоположное. Иначе говоря, любым двум точкам X и Y фигуры F соответствуют такие точки X" и Y", что X"Y" = -XY

Доказательство. Пусть при центральной симметрии с центром в точке О точки X и Y отобразились на X" и Y". Тогда, как ясно из определения центральной симметрии, OX" = -OX, OY" = -OY

Вместе с тем XY = OY - OX, X"Y" = OY" - OX"

Поэтому имеем: X"Y" = -OY + OX = -XY

Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное, есть центральная симметрия

Центральная симметрия фигуры задается указанием одной пары существующих точек: если точка А отображается на А", то центр симметрии это середина отрезка AA"

Поворот вокруг прямой

Для более четкого представления о повороте вокруг прямой следует вспомнить поворот на плоскости около данной точки. Поворотом на плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении. Перейдем теперь к повороту в пространстве

Определение. Поворотом фигуры вокруг прямой a на угол (называется такое отображение, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой a, происходит поворот вокруг точки ее пересечения с прямой a на один и тот же угол (в одном и том же направлении. Прямая a называется осью поворота, а угол - углом поворота)

Отсюда видим, что поворот всегда задается осью, углом и направлением поворота

Теорема 1. Поворот вокруг прямой сохраняет расстояния, т.е. является движением

Теорема 2. Если движение пространства имеет множеством своих неподвижных точек прямую, то оно является поворотом вокруг этой прямой

Преобразования плоскости

m - набор, составленный из всех чисел полной системы вычетов по модулю m , взаимно простых с m . Приведённая система вычетов по модулю m состоит из φ(m ) чисел, где φ(m ) - функция Эйлера . В качестве приведённой системы вычетов по модулю m обычно берутся взаимно простые с m числа от 0 до m - 1 .

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Drag-and-drop
• 2С25 «Спрут-СД»

Смотреть что такое "Приведённая система вычетов" в других словарях:

Приведённая система вычетов - часть полной системы вычетов (См. Полная система вычетов), состоящая из чисел взаимно простых с модулем m. П. с. в. содержит φ(m) чисел [φ(m) число чисел, взаимно простых с m и меньших m]. Всякие φ(m) чисел, не сравнимые по модулю m и… … Большая советская энциклопедия

Приведенная система вычетов - Приведённая система вычетов по модулю m набор, составленный из всех чисел полной системы вычетов по модулю m, взаимно простых с m. Приведённая система вычетов по модулю m состоит из φ(m) чисел, где φ(m) функция Эйлера. В качестве приведённой… … Википедия

Мультипликативная группа кольца вычетов - Приведённая система вычетов по модулю m множество всех чисел полной системы вычетов по модулю m, взаимно простых с m. Приведённая система вычетов по модулю m состоит из φ(m) чисел, где φ(·) функция Эйлера. В качестве приведённой системы вычетов… … Википедия

Функция Эйлера - Не следует путать с функцией распределения простых чисел. Первая тысяча значений Функция Эйлера φ(n) мультипликативная … Википедия

Сравнение по модулю - Сравнение по модулю натурального числа n в теории чисел отношение эквивалентности на кольце целых чисел, связанное с делимостью на n. Факторкольцо по этому отношению называется кольцом вычетов. Совокупность соответствующих тождеств и… … Википедия

Конечная группа - Симметрия снежинки связана с группой поворотов на угол, кратный 60° Конечная группа алгебраическая группа, содержащая конечное число элементов (это число называется её порядком). Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в… … Википедия

Четверная группа Клейна - Четверная группа Клейна группа четвёртого порядка, играет важную роль в высшей алгебре. Содержание 1 Определение 2 Обозначение 3 … Википедия

В предыдущем пункте было отмечено, что отношение  m сравнимости по произвольному модулю m есть отношение эквивалентности на множестве целых чисел. Это отношение эквивалентности индуцирует разбиение множества целых чисел на классы эквивалентных между собой элементов, т.е. в один класс объединяются числа, дающие при делении на m одинаковые остатки. Число классов эквивалентности  m (знатоки скажут – "индекс эквивалентности  m ") в точности равно m .

Определение. Любое число из класса эквивалентности  m будем называть вычетом по модулю m . Совокупность вычетов, взятых по одному из каждого класса эквивалентности  m , называется полной системой вычетов по модулю m (в полной системе вычетов, таким образом, всего m штук чисел). Непосредственно сами остатки при делении на m называются наименьшими неотрицательными вычетами и, конечно, образуют полную систему вычетов по модулю m . Вычет ρ называется абсолютно наименьшим, если ⎪ρ ⎪ наименьший среди модулей вычетов данного класса.

Пример : Пусть m = 5. Тогда:

0, 1, 2, 3, 4 - наименьшие неотрицательные вычеты;

2, -1, 0, 1, 2 - абсолютно наименьшие вычеты.

Обе приведенные совокупности чисел образуют полные системы вычетов по модулю 5.

Лемма 1 . 1) Любые m штук попарно не сравнимых по модулю m чисел образуют полную систему вычетов по модулю m .

2) Если а и m взаимно просты, а x пробегает полную систему вычетов по модулю m , то значения линейной формы а x + b , где b – любое целое число, тоже пробегают полную систему вычетов по модулю m .

Доказательство. Утверждение 1) – очевидно. Докажем утверждение 2) Чисел а x +b ровно m штук. Покажем, что они между собой не сравнимы по модулю m . Ну пусть для некоторых различных x 1 и x 2 из полной системы вычетов оказалось, что ax 1 + b ≡ ax 2 + b (mod m). Тогда, по свойствам сравнений из предыдущего пункта, получаем:

ax 1 ≡ ax 2 (mod m )

x 1 ≡ x 2 (mod m )

– противоречие с тем, что x 1 и x 2 различны и взяты из полной системы вычетов.

Поскольку все числа из данного класса эквивалентности  m получаются из одного числа данного класса прибавлением числа, кратного m , то все числа из данного класса имеют с модулем m один и тот же наибольший общий делитель. По некоторым соображениям, повышенный интерес представляют те вычеты, которые имеют с модулем m наибольший общий делитель, равный единице, т.е. вычеты, которые взаимно просты с модулем.

Определение. Приведенной системой вычетов по модулю m называется совокупность всех вычетов из полной системы, взаимно простых с модулем m .

Приведенную систему обычно выбирают из наименьших неотрицательных вычетов. Ясно, что приведенная система вычетов по модулю m содержит ϕ (m ) штук вычетов, где ϕ (m )– функция Эйлера – число чисел, меньших m и взаимно простых с m .

Функция Эйлера.

Функция Эйлера ϕ (a ) есть количество чисел из ряда 0, 1, 2,..., a –1, взаимно простых с a .

Лемма. Пусть

Т
огда:

в частности, φ(p α) = p α –p α -1 , φ(p ) = p –1.

Пример . Пусть m = 42. Тогда приведенная система вычетов суть:

1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

Лемма 2. 1) Любые ϕ (m ) чисел, попарно не сравнимые по модулю m и взаимно простые с модулем, образуют приведенную систему вычетов по модулю m .

2) Если d (a , m ) = 1 и x пробегает приведенную систему вычетов по модулю m , то а x так же пробегает приведенную систему вычетов по модулю m .

Доказательство . Утверждение 1) – очевидно. Докажем утверждение 2). Числа а x попарно несравнимы (это доказывается так же, как в лемме 1 этого пункта), их ровно ϕ (m ) штук. Ясно также, что все они взаимно просты с модулем, ибо d (a , m )=1, d (x ,m )=1 ⇒ d (ax , m )=1. Значит, числа а x образуют приведенную систему вычетов.

Лемма 3. Пусть m 1 , m 2 , ..., m k – попарно взаимно просты и m 1 m 2 ...m k =M 1 m 1 =M 2 m 2 =...=M k m k , где M j =m 1 ...m j -1 m j +1 ...m k

1) Если x 1 , x 2 , ..., x k пробегают полные системы вычетов по модулям m 1 , m 2 , ..., m k M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k пробегают полную систему вычетов по модулю m= m 1 m 2 ...m k .

2) Если ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k пробегают приведенные системы вычетов по модулям m 1 , m 2 , ..., m k соответственно, то значения линейной формы M 1 ξ 1 +M 2 ξ 2 + ...+M k ξ k пробегают приведенную систему вычетов по модулю m= m 1 m 2 ...m k .

Лемма 4. Пусть x 1 , x 2 , ..., x k , x пробегают полные, а ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ k , ξ – пробегают приведенные системы вычетов по модулям m 1 , m 2 ,...,m k и m=m 1 m 2 ...m k соответственно, где (m i m j )=1 при i ≠ j . Тогда дроби {x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k } совпадают с дробями {x/m} , а дроби { ξ 1 /m 1 + ξ 2 /m 2 +...+ ξ k /m k } совпадают с дробями { ξ/m} .

Обозначим через ε k k -ый корень m- ой степени из единицы:

Здесь k =0,1,...,m -1 – пробегает полную систему вычетов по модулю m .

Напомню, что сумма ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 всех корней m -ой степени из единицы равна нулю для любого m . Действительно, пусть ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 = a . Умножим эту сумму на ненулевое число ε 1 . Такое умножение геометрически в комплексной плоскости означает поворот правильного m -угольника, в вершинах которого расположены корни ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 , на ненулевой угол 2 π/m . Ясно, что при этом корень ε 0 перейдет в корень ε 1 , корень ε 1 перейдет в корень ε 2 , и т.д., а корень ε m-1 перейдет в корень ε 0 , т.е. сумма ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 не изменится. Имеем ε 1 a=a , откуда a=0 .

Теорема 1. Пусть m>0 – целое число, a  Z , x пробегает полную систему вычетов по модулю m . Тогда, если а кратно m , то

в противном случае, при а не кратном m ,

Теорема 2. Пусть m>0 – целое число, ξ пробегает приведенную систему вычетов по модулю m . Тогда (сумма первообразных корней степени m ):

где μ(m ) – функция Мебиуса.

часть полной системы вычетов (См. Полная система вычетов), состоящая из чисел взаимно простых с модулем m. П. с. в. содержит φ(m ) чисел [φ(m ) - число чисел, взаимно простых с m и меньших m ]. Всякие φ(m ) чисел, не сравнимые по модулю m и взаимно простые с ним, образуют П. с. в. по этому модулю.

• - см. Приведённая масса...

  Физическая энциклопедия

• - условная характеристика распределения масс в движущейся механич. или смешанной системе, зависящая от физ. параметров системы и от закона её движения...

  Физическая энциклопедия

• - по модулю т - любой набор из тнесравнимых между собой по модулю тцелых чисел. Обычно в качестве П. с. в. по модулю тберутся наименьшие неотрицательные вычеты 0, 1, . . ...

  Математическая энциклопедия

• - сумма полезной площади квартирного жилого дома, а также площадей лоджий, веранд, балконов с соответствующими понижающими коэффициентами - обща приведена площ - přepočtená užitková plocha - Gesamtfläche - fajlagos alapterület - хөрвүүлсэн...

  Строительный словарь

• - См. Коэффициент пористости пород...
• - отношение объема пор горной породы к объему скелета горной породы, выражаемое обычно в долях единицы...

  Словарь по гидрогеологии и инженерной геологии

• - см. коэффициент пористости...

  Толковый словарь по почвоведению

• - то же, что базовая деталь...
• - условная хар-ка распределения масс в системе движущихся тел, вводимая в механике для упрощения ур-ний движения системы...

  Большой энциклопедический политехнический словарь

• - Налог, взыскиваемый у источника с дивидендов или другого дохода, получаемого нерезидентом страны...

  Финансовый словарь

• - Налог, взыскиваемый у источника с дивидендов или другого дохода, получаемого не резидентом страны...

  Словарь бизнес терминов

• - по модулю m, любая совокупность целых чисел, содержащая по одному числу из каждого класса чисел по модулю m . В качестве П. с. в. чаще всего применяется система наименьших положительных вычетов 0, 1, 2,.....
• - условная характеристика распределения масс в движущейся механической или смешанной системе, зависящая от физических параметров системы и от закона её движения...

  Большая Советская энциклопедия

• - ПРИВЕДЕННАЯ масса - условная характеристика распределения масс в движущейся механической или смешанной системе, зависящая от физических параметров системы и от закона ее движения...

  Большой энциклопедический словарь

• - общий, весь, совокупный,...

  Словарь синонимов

• - прил., кол-во синонимов: 1 чистый...

  Словарь синонимов

"Приведённая система вычетов" в книгах

Какова приведенная стоимость ключевой сферы компетенции?

Из книги Невесомое богатство. Определите стоимость вашей компании в экономике нематериальных активов автора Тиссен Рене

Какова приведенная стоимость ключевой сферы компетенции? Исходя из рассмотренного выше, мы можем сказать, что приведенная стоимость ключевой сферы компетенции рассчитывается перемножением всех показателей за определенное время с учетом затрат на привлечение

Чистая приведенная стоимость (NPV)

Из книги МВА за 10 дней. Самое важное из программ ведущих бизнес-школ мира автора Силбигер Стивен

Чистая приведенная стоимость (NPV) Анализ приведенной стоимости (NPV) помогает посчитать, сколько работнику нужно вложить, чтобы через 30 лет получать достойную пенсию, но этот анализ бесполезен при оценке текущих инвестиций и проектов. Инвестиции необходимо оценивать в

УЧЕТ УДЕРЖАНИЙ И ВЫЧЕТОВ ИЗ ЗАРАБОТНОЙ ПЛАТЫ

Из книги Бухгалтерский учет автора Мельников Илья

УЧЕТ УДЕРЖАНИЙ И ВЫЧЕТОВ ИЗ ЗАРАБОТНОЙ ПЛАТЫ В соответствии с законодательством из заработной платы работников производятся следующие удержания:– подоходный налог (государственный налог, объект обложения – заработную плата);– погашение задолженности по ранее

10.6. Учет удержаний и вычетов из заработной платы

Из книги Бухгалтерский учет в сельском хозяйстве автора Бычкова Светлана Михайловна

10.6. Учет удержаний и вычетов из заработной платы Из заработной платы работников предприятия производятся определенные удержания, которые подразделяются следующим образом: обязательные удержания (налог на доходы физических лиц, удержания по исполнительным листам);

Из книги Нематериальные активы: бухгалтерский и налоговый учет автора Захарьин В Р

<...>

4.1. Общие вопросы предоставления социальных налоговых вычетов

автора Макурова Татьяна

4.1. Общие вопросы предоставления социальных налоговых вычетов Социальные налоговые вычеты (ст.219 НК) так же, как и имущественный вычет на приобретение жилья, означают уменьшение налогооблагаемой базы на величину произведенных социальных расходов с учетом законодательно

4.3. Особенности предоставления образовательных вычетов

Из книги Самоучитель по налогам на доходы физлиц автора Макурова Татьяна

4.3. Особенности предоставления образовательных вычетов 142) Какие расходы могут быть приняты к вычету на обучение? Каковы лимиты образовательных вычетов?К социальному налоговому вычету на образование принимаются: расходы в сумме, уплаченной налогоплательщиком в

3.4. Количественная оценка и периодичность возникновения и применения налоговых вычетов

Из книги Налоговая нагрузка предприятия: анализ, расчет, управление автора Чипуренко Елена Викторовна

3.4. Количественная оценка и периодичность возникновения и применения налоговых вычетов 3.4.1. НДС как потенциальный налоговый вычет При исчислении НДС суммы налоговых вычетов определяются только в соответствии с данными регистров налогового учета – книг покупок. При

Полная система вычетов

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ПО) автора БСЭ

Приведённая масса

БСЭ

Приведённая система вычетов

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ПР) автора БСЭ

88. Структурная и приведённая формы системы одновременных уравнений. Идентификация модели

Из книги Ответы на экзаменационные билеты по эконометрике автора Яковлева Ангелина Витальевна

88. Структурная и приведённая формы системы одновременных уравнений. Идентификация модели Структурными уравнениями называются уравнения, из которых состоит исходная система одновременных уравнений. В данном случае система имеет структурную форму.Структурная форма

Из книги Новое в Налоговом кодексе: комментарий к изменениям, вступившим в силу в 2008 году автора Зрелов Александр Павлович

Статья 172. Порядок применения налоговых вычетов Комментарий к статье 172В тексте абз.1 п.2 комментируемой статьи отменено условие, предписывающее производить исчисления суммы налога исходя из балансовой стоимости имущества (с учетом его переоценок и амортизации, которые

автора Автор неизвестен

Статья 172. Порядок применения налоговых вычетов 1. Налоговые вычеты, предусмотренные статьей 171 настоящего Кодекса, производятся на основании счетов-фактур, выставленных продавцами при приобретении налогоплательщиком товаров (работ, услуг), имущественных прав,

Из книги Налоговый кодекс Российской Федерации. Части первая и вторая. Текст с изменениями и дополнениями на 1 октября 2009 г. автора Автор неизвестен

Статья 201. Порядок применения налоговых вычетов 1. Налоговые вычеты, предусмотренные пунктами 1 – 4 статьи 200 настоящего Кодекса, производятся на основании расчетных документов и счетов-фактур, выставленных продавцами при приобретении налогоплательщиком подакцизных